Práctica 3 Matlab

El objetivo de esta práctica es dar unos pequeños pasos con una aplicación que se encuentra en el Matlab llamada Simulink.Para comenzar a usar esta aplicación hay primero que abrir el Matlab y luego en los comandos de Matlab darle a este icono:

Simulink nos permite dibujar el diagrama de bloques del enunciado, y con el, mediante unos comando visualizaremos el error en el estado estacionario, este error se puede calcular mediante la gráfica resultante o matemáticamente.
Para montar el diagrama de bloque los objetos se cogen de:

• math operations 
• function transfer: Para coger G1 y G2
• source: Entradas
• sink:Para Scoope(sirve para visualizar la respuesta)

El planteamiento teórico:

Todo esto se resume en esto:

Asi que viendo el límite final solo es necesario calcular los denominadores y los numeradores de G y H.
Debido al enunciado sabemos que H es = 1 y solo quedaría calcular G, G es igual al producto de G1(s), G2(s) y k. Realizando esto queda:
\[
G=\frac{12}{s-5}*\frac{s^2+4s+3}{s^2+2s+5};H=1
\]

Sustituimos estos datos en la ecuación y nos queda:

Por gráfico también se podría calcular:

Para visualizar este gráfico hay que clicar en Scoope y posteriormente dar a simulation start

Se calcularía restando el valor inicial menos el final.
Ess= 1 - 3,27= -2,27
Comprobamos que el resultado sea el mismo al hecho teoricamente y vemos que es el mismo, por lo tanto está hecho correctamente.

Practica 2 Matlab

Para realizar este ejercicio tomaremos como dato la función de transferencia obtenida en un ejercicio anterior, dicha función es:
\[
G(s)=\frac{1}{ms^2+bs+k}
\]
Para eliminar las incógnitas m,b,k el enunciado nos da unos valores que son:
m=1
k=2
b=0,3

Como escribir todo esto en Matlab:

syms w s G
w=[0:0.5:10]
s=i*w
u=ones(size(w))        ´´Crea tantos vectores como w pero con valor 1´´
syms m k b
k=2
b=0,3
m=1
G=u./((m*s.*s)+(b*s)+k)
M=abs(G)
phi=angle(G)/phi*180

Con estos comandos de Matlab estaría definida totalmente la M y la phi y ya estaría totalmente definida la función de transferencia.

Diagrama de Nyquist y de Bode:

Para que Matlab realice el diagrama de Nyquist o de Boode es necesario crear el num y el den.

En Matlab:

num=u
den=((m*s.*s)+(b*s)+k)
nyquist (num,den)

 bode(num,den)

Primeros pasos Matlab

Matlab es un programa que permite realizar operaciones con números complejos:

Una matriz en Matlab se puede expresar diferentes maneras:
A=[
1 2 3 4
5 6 7 8]
o otra manera sería:
A=[1 2 3 4;5 6 7 8]

¿Cómo realizar operaciones con matrices?

Representar una función y hacer una gráfica:

Para crear la función le hemos dado valores a x del 0 al 10 en intervalos de 0,2. Posteriormente hemos creado la función y=x^2.

Posteriormente le hemos pedido a Matlab que nos haga una gráfica con estos datos utilizando el comando plot


Nota:
por ejemplo cuando se quiere sumar polinomios por ejemplo:
\[
q(x)=3x+4;p(x)=2x^3+x^2+5
\]
se deben representar:
q=[0 0 3 4]
p=[2 1 0 5]


 Es muy importante poner esos 2 ceros al principio.

Grafos de flujo de señal

Lo que representa un grafo de flujo de señal es equivalente a lo que representa un diagrama de bloques:

Un diagrama de bloques se representa mediante cuatro elementos, pero los grafos de flujo de señal se representan mediante 2 elementos:

• Arista: Es un segmento de linea orientado y corresponde a un bloque
• Nodo: Corresponde a un pequeño punto, corresponde a una variable y a parte realiza una suma ponderada.

Tanto el diagrama de bloques como los grafos de flujo de señal tienen sus ventajas e inconvenientes. Algo positivo para los grafos esque se puede representar de una manera mas sencilla, pero lo positivo para los diagramas es que se pueden simplificar sus bloques y hallar su su función de transferencia de una manera muy clara y muy bien explicada, en cambio en los grafos de flujo para hallar esta función de transferencia hay que aplicar la fórmula de Mason.

Fórmula de Mason:

• Trayectoria: cualquier camino orientado recorrido entre un nodo de entrada y otro de salida, pasando sólo una vez por cada nodo. 
• Ganancia de trayectoria: producto de las transmitancias  de todas sus ramas.
• Ciclo: Es cualquier camino cerrado, orientado, que pase sólo una vez por cada nodo.  
• Ganancia de lazo: Es el producto de las transmitancias de todas las ramas del lazo.

 Las fórmulas de Mason son:

Diagrama de bloques

El diagrama de bloques es una forma de representar gráficamente las relaciones entre las variables de un sistema.

El diagrrama de bloques se divide en 4 partes:

• Bloques: representan la función de transferencia.
• Flechas: indican la dirección del flujo de las señales.
• Punto de bifurcación: Representa los sistemas de ecuaciones.
• Punto de suma: realizan la suma algebraica de señales con su signo ya sea positivo o negativo.

 ¿Como obtener la función de transferencia?

Para obtenerla pondre 2 ejemplos y luego colocaré una tabla de equivalentes:

 Y(s)= G2(s)*Z(s)
Z(s)= G1(s)*X(s)
Y(s)=G2(s)*G1(s)*X(s)
y el bloque final sería asi:

Segundo ejemplo:

La entrada de G(s) la llamaremos X(s) y a la salida de H Hsalida
Y(s)= G(s)*X(s)
Hsalida=H*Y(s)
X(s)= U(s)-Hsalida
Y(s)=G(s)*(U(s)-Hsalida)=G(s)*(U(s)-H*Y(S))=G(s)*U(s)-G(s)*H*Y
Y(s)+Y(s)*G(s)*H=G(s)*U(s)
Y(s)(1+G(s)*H)=G(s)*U(s)
Y= (G/1+GH)*U
esta ecuación escrita en laTex sería:
\[
Y=\frac{G}{1+GH}*U
\]

Todas estas operaciones no harían falta hacerlas puesto que gracias a la tabla de simplificación de diagramas de bloques esto saldría directo: La tabla es la siguiente:

Laplace

Un tema muy interesante en control son las transformadas de Laplace que se definen como:
\[
F(s)=  \mathscr{L}{f(t)}= \int ^{+\infty}_0 \mathrm{e}^{- s\, t} dt
\]
 Como toda función matemática la transformada de Laplace tiene unas propiedades:

Linealidad:
\[
\mathscr{L}(a*f(t) + b*g(t))=a*\mathscr{L}{f(t)} + b* \mathscr{L}{g(t)}
\]
Derivación:
\[
\mathscr{L}(f´(t))= s*\mathscr{L}{f(t)}-f(0)
 \]
\[
\mathscr{L}(f´´(t))= s^2*\mathscr{L}{f(t)}-s*f(0)-f´(0)
\]
Integración:
\[
\mathscr{L}(\int^{+t}_0 f(t)dt)= \frac  {1}{s}\mathscr{L}(f)
\]

 

Como parte final añadiré una pequeña tabla con las principales transformadas de Laplace

\begin{array}{|c|c|} \hline  f(t) & F(t) \\ \hline Dirac(t) & 1 \\ Heaviside(t) & \frac{1}{s} \\ t & \frac{1}{s^2}\\  \mathrm{e}^{- a\, t}& \frac{1}{s+a}\\ sin(\omega *t)& \frac{w}{s^2 + w^2}\\ cos(\omega*t)& \frac{s}{s^2 + w^2}\\sin(\omega*t+\theta) & \frac{s*sin{\theta}+\omega*cos{\theta}}{s^2+\omega^2}\\cos(\omega*t+\theta) & \frac{s*sin{\theta}-\omega*cos{\theta}}{s^2+\omega^2}  \\ \hline \end{array}

Sistema de control

Un sistema de control se puede definir como un conjunto de componentes que regulan el comportamiento de un sistema para lograr un funcionamiento predeterminado.
Un sistema de control esta formado por cuatro partes:

1. La primera son los sensores cuya finalidad consta de controlar el proceso.
2. La segunda es la planta que es aquello que se desea controlor.
3. La tercera son los actuadores que son los que realizan la orden del sistema.
4. El último es el controlador que dependiendo de la informaciñon que proviene de los sensores decide como actuar.

Un ejemplo de un sistema de control es un teléfono móvil.

Un claro ejemplo de sistema de control es un teléfono móvil.