\[
F(s)= \mathscr{L}{f(t)}= \int ^{+\infty}_0 \mathrm{e}^{- s\, t} dt
\]
Como toda función matemática la transformada de Laplace tiene unas propiedades:
Linealidad:
\[
\mathscr{L}(a*f(t) + b*g(t))=a*\mathscr{L}{f(t)} + b* \mathscr{L}{g(t)}
\]
Derivación:
\[
\mathscr{L}(f´(t))= s*\mathscr{L}{f(t)}-f(0)
\]
\[
\mathscr{L}(f´´(t))= s^2*\mathscr{L}{f(t)}-s*f(0)-f´(0)
\]
Integración:
\[
\mathscr{L}(\int^{+t}_0 f(t)dt)= \frac {1}{s}\mathscr{L}(f)
\]
Como parte final añadiré una pequeña tabla con las principales transformadas de Laplace
\begin{array}{|c|c|} \hline f(t) & F(t) \\ \hline Dirac(t) & 1 \\ Heaviside(t) & \frac{1}{s} \\ t & \frac{1}{s^2}\\ \mathrm{e}^{- a\, t}& \frac{1}{s+a}\\ sin(\omega *t)& \frac{w}{s^2 + w^2}\\ cos(\omega*t)& \frac{s}{s^2 + w^2}\\sin(\omega*t+\theta) & \frac{s*sin{\theta}+\omega*cos{\theta}}{s^2+\omega^2}\\cos(\omega*t+\theta) & \frac{s*sin{\theta}-\omega*cos{\theta}}{s^2+\omega^2} \\ \hline \end{array}
